priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2023-66-5-373-388pribor-113Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGСтационарные показатели системы обслуживания GI/G/1/1 в терминах характеристик регенерирующего процессаStationary characteristics of GI/G/1/1 queuing system in terms of the renewal processПесчанскийА. И.PeschanskyA. I.

Песчанский Алексей Иванович — д-р техн. наук, профессор; кафедра высшей математики, СевГУ.

Севастополь

Aleхey I. Peschansky — Dr. Sci., Professor; Sevastopol State University, Department of Higher Mathematics.

Sevastopol

peschansky_sntu@mail.ruСевастопольский государственный университетSevastopol State University202326112024665373388Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20242024Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/113

Полумарковский процесс, описывающий функционирование системы обслуживания GI/G/1/1, рассмотрен как регенерирующий. Точками регенерации являются моменты попадания заявок в свободную систему. Установлены формулы для вычисления следующих характеристик системы за цикл регенерации: средних чисел поступающих, обслуженных и потерянных заявок; среднего времени пребывания системы в свободном состоянии; средних суммарных времен пребывания в системе одной и двух заявок. Финальные вероятности физических состояний системы, средние стационарные времена пребывания в состояниях, в очереди и в системе выражены в терминах характеристик регенерирующего процесса.

The semi-Markov process describing queuing system operation is analyzed as a renewal. Its regeneration points are the moments of requests arrivals to the free system. Formulas are established for calculating the following characteristics of the system for a regeneration cycle: average numbers of incoming, serviced and lost requests; average residence time of the system in the free state; average total sojourn times in the system for one and two claims. The final probabilities of the system physical states, average stationary sojourn times in the states, in the queue and in the system are expressed in terms of the renewal process characteristics.

однолинейная система обслуживания с одним местом для ожиданиярегенерирующий процессчисло поступающихобслуженных и потерянных заявок за цикл регенерациисуммарные времена пребывания в состоянияхстационарные характеристики системыsingle-server queuing system with one queue placerenewal processthe number of arrivalsof complete and lost requests per renewal cycletotal sojourn times in statesstationary characteristics of the systemReferencesГнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Vvedeniye v teoriyu massovogo obsluzhivaniya (Introduction to Queuing Theory), Moscow, 1987, 336 р. (in Russ.)Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Teoriya massovogo obsluzhivaniya (Queuing Theory), Moscow, 1995, 529 р. (in Russ.)Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 244 с.Klimov G.P. Stokhasticheskiye sistemy obsluzhivaniya (Stochastic Queuing Systems), Moscow, 1966, 244 р. (in Russ.)Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания // Итоги науки. Сер. Теор. вероятн. 1963. М., 1965. С. 73—122.Kovalenko I.N. Teoriya massovogo obsluzhivaniya. Itogi nauki. Seriya Teoriya veroyatnostey (Theory of Queuing. The Results of Science. Series Theory of Probability), 1963, Moscow, 1965, рр. 73–122. (in Russ.)Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания // Итоги науки. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. 1970. М., 1971. С. 5—109.Kovalenko I.N. Teoriya massovogo obsluzhivaniya. Itogi nauki. Seriya Teoriya veroyatnostey. Matematicheskaya statistika Teoreticheskaya kibernetika (Theory of Queuing. The Results of Science. Series Theory of Probability. Mathematical Statistics Theoretical Cybernetics), 1970, Moscow, 1971, рр. 5–109. (in Russ.)Коваленко И. Н. Обзор моих научных работ. Учителя и соратники // Кибернетика и системный анализ. 2010. № 3. С. 3—27.Kovalenko I.N. Cybernetics and Systems Analysis, 2010, no. 3, pp. 339–362.Печинкин А. В. Стационарные вероятности состояний в системе GI/G/1/N с неординарным входящим потоком требований // Вестник РУДН. 1995. № 1. С. 77—86.Pechinkin A.V. RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics, 1995, no. 1, pp. 77–86. (in Russ.)Печинкин А. В., Чаплыгин В. В.Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM / MSP / n / r // Автоматика и телемеханика. 2004. № 9. С. 85—100.Pechinkin A.V., Chaplygin V.V. Automation and Remote Control, 2004, no. 9(65), pp. 1429–1443, DOI: https://doi.org/10.1023/B:AURC.0000041421.62689.a8.Дудин А. Н., Вишневский В. М., Синюгина Ю. В. Анализ очереди BMAP / G / 1 с закрытым сервисом и адаптивной продолжительностью отпусков // Телекоммуникационные системы. 2016. Т. 61, № 3. С. 403—415. DOI: 10.1007/s11235-014-9946-8.Dudin A.N., Vishnevsky V.M., Sinyugina Yu.V. Telecommunication Systems, 2016, no. 3(61), pp. 403–415, DOI: 10.1007/s11235-014-9946-8.Бутко Т. К. Процесс марковского восстановления системы G / M / 1 / ∞ // Применение аналитических методов в теории вероятностей: Сб. науч. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. С. 17—27.Butko T.K. Primeneniye analiticheskikh metodov v teorii veroyatnostey (Application of Analytical Methods in Probability Theory), Kyiv, 1983, рр. 17–27. (in Russ.)Тарасов В. Н. Исследование систем массового обслуживания с гиперэкспоненциальными входными распределениями // Проблемы передачи информации. 2016. № 1. С. 16—26.Tarasov V.N. Problems of Information Transmission, 2016, no. 1, pp. 14–23.Atkinson J. B., Kovalenko I. N. Some light-traffic and heavy-traffic results for the GI/G/n/0 queue using the GM Heuristic // Кибернетика и системный анализ. 2010. № 3. С. 92—100.Atkinson J.B., Kovalenko I.N. Cybernetics and Systems Analysis, 2010, no. 3, pp. 426–435.Chen Y., Whitt W. Set-valued Performance Approximations for the GI/G/K Queue Given Partial Information // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2020. P. 1—23. DOI:10.1017/S0269964820000509.Chen Y., Whitt W. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 2020, рр. 1–23, DOI: 10.1017/S0269964820000509.Chen Y., Whitt W. Extremal models for the GI/GI/K waiting-time tail-probability decay rate// Operations Research Letters. 2020. Vol. 48. P. 770—776. DOI: 10.1019/j.orl.2020.09.004.Chen Y., Whitt W. Operations Research Letters, 2020, vol. 48, рр. 770–776, DOI: 10.1019/j.orl.2020.09.004.Chen Y., Whitt W. Algorithms for the upper bound mean waiting time in the GI/GI/1 queue // Queueing Systems. 2020. Vol. 94. P. 327—356. DOI: 10.1007/s11134-020-09649-9.Chen Y., Whitt W. Queueing Systems, 2020, vol. 94, рр. 327–356, DOI: 10.1007/s11134-020-09649-9.Королюк В. С., Турбин А. Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук. думка, 1982. 236 с.Korolyuk V.S., Turbin A.F. Protsessy markovskogo vosstanovleniya v zadachakh nadezhnosti system (Markov Recovery Processes in Problems of System Reliability), Kyiv, 1982, 236 р. (in Russ.)Королюк В. С. Стохастические модели систем. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.Korolyuk V.S. Stokhasticheskiye modeli system (Stochastic Models of Systems), Kyiv, 1989, 208 р. (in Russ.)Корлат А. Н., Кузнецов В. Н., Новиков М. И., Турбин А. Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания. Кишинев: Штиинца, 1991. 276 с.Korlat A.N., Kuznetsov V.N., Novikov M.I., Turbin A.F. Polumarkovskiye modeli vosstanavlivayemykh sistem i sistem massovogo obsluzhivaniya (Semi-Markovian Models of Recoverable Systems and Queuing Systems), Kishinev, 1991, 276 р. (in Russ.)Копп В. Я., Обжерин Ю. Е., Песчанский А. И. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.Kopp V.Ya., Obzherin Yu.E., Peschansky A.I. Modelirovaniye avtomatizirovannykh liniy (Modeling of Automated Lines), Sevastopol, 2006, 240 р. (in Russ.)Обжерин Ю. Е., Песчанский А. И. Стационарные характеристики однолинейной системы обслуживания с одним местом для ожидания // Кибернетика и системный анализ. 2006. № 5. С. 51—62.Obzherin Y.E., Peschanskii A.I. Cybernetics and Systems Analysis, 2006, no. 5, pp. 656–666.Kendall D. Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain // Ann. Math. Statistics. 1953. Vol. 24, N 3. P. 338—354.Kendall D. Ann. Math. Statistics, 1953, no. 3(24), pp. 338–354.Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische Methoden. Berlin: VEB Verlag Technik, 1983. 392 p.Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische Methoden, Berlin, VEB Verlag Technik, 1983, 392 s.Чжун Кай-Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Мир, 1964. 425 с.Kai Lai Chung, Markov Chains with Stationary Transition Probabilities, Berlin, NY, Springer, 1967, vol. 104.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.