priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2023-66-9-715-730pribor-167Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGСтационарные характеристики одноканальной системы с неограниченной очередью и учетом контроля качества обслуживанияStationary characteristics of an unlimited queue single-channel system with regard to service quality controlПесчанскийА. И.PeschanskyA. I.

Алексей Иванович Песчанский  — д-р техн. наук, профессор; кафедра высшей математики

Севастополь

Aleхey I. Peschansky — Dr. Sci., Professor; Department of Higher Mathematics

Sevastopol

peschansky_sntu@mail.ruСевастопольский государственный университетSevastopol State University202328112024669715730Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20242024Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/167

Исследуется система обслуживания M / G /1/  , в которой по завершении обслуживания каждой заявки проводится мгновенный контроль качества ее обслуживания. В случае неудовлетворительного качества заявка отправляется на повторные обслуживания, которые проводятся до тех пор, пока качество не будет признано удовлетворительным. Построен полумарковский процесс функционирования системы, найдено стационарное распределение вложенной цепи Маркова. Для производящих функций стационарных вероятностей получены аналоги формулы Поллачека — Хинчина. Определены стационарные характеристики системы, зависящие от вероятности качественного обслуживания: стационарное распределение очереди по времени, средние стационарные времена пребывания в состояниях, среднее число заявок в очереди и системе, среднее время пребывания заявки в очереди и системе. 

A service system M / G /1/  is studied, in which, upon completion of servicing of each application, instant control of the quality of its service is carried out. In case of unsatisfactory quality, the application is sent for repeated services, which are carried out until the quality is considered satisfactory. A semi-Markov process of system functioning is constructed, and the stationary distribution of the embedded Markov chain is found. Analogues of the Pollaczek — Khinchin formula for generating functions of the stationary probabilities are obtained. The system stationary characteristics depending on the probability of quality service are determined: the stationary distribution of the queue over time, the average stationary duration of stay in a state, the average number of requests in the queue and system, the average duration of the request stay in the queue and system.  

однолинейная система обслуживаниябесконечная очередьконтроль качестваповторное обслуживаниестационарные характеристики: финальные вероятностивремена пребывания в состоянияхсреднее число заявок и время пребывания в очереди и системеsingle-server queuing systeminfinite queuequality controlre-servicestationary characteristics: final probabilitiessojourn times in statesaverage number of requests and sojourn time in queue and systemReferencesГнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Vvedeniye v teoriyu massovogo obsluzhivaniya (Introduction to Queuing Theory), Moscow, 1987, 336 р. (in Russ.)Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Teoriya massovogo obsluzhivaniya (Queuing Theory), Moscow, 1995, 529 р. (in Russ.)Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 244 с.Klimov G.P. Stokhasticheskiye sistemy obsluzhivaniya (Stochastic Queuing Systems), Moscow, 1966, 244 р. (in Russ.)Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания // Итоги науки. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. 1970, ВИНИТИ, М., 1971. С. 5—109.Kovalenko I.N. Teoriya massovogo obsluzhivaniya. Itogi nauki. Seriya Teoriya veroyatnostey. Matematicheskaya statistika. Teoreticheskaya kibernetika (Theory of Queuing. The Results of Science. Series Theory of Probability. Math statistics. Theoretical cybernetics), Moscow, 1971, рр. 5–109. (in Russ.)Бутко Т. К. Процесс марковского восстановления системы G / M /1/  // Применение аналитических методов в теории вероятностей: Сб. науч. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. С. 17—27.Butko T.K. Primeneniye analiticheskikh metodov v teorii veroyatnostey (Application of Analytical Methods in Probability Theory), Kyiv, 1983, рр. 17–27. (in Russ.)Chen Y., Whitt W. Algorithms for the upper bound mean waiting time in the GI/GI/1 queue // Queueing Systems. 2020. Vol. 94. P. 327—356. DOI: 10.1007/s11134-020-09649-9.Chen Y., Whitt W. Queueing Systems, 2020, vol. 94, рр. 327–356, DOI: 10.1007/s11134-020-09649-9.Королюк В. С., Турбин А. Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук. думка, 1982. 236 с.Korolyuk V.S., Turbin A.F. Protsessy markovskogo vosstanovleniya v zadachakh nadezhnosti sistem (Markov Reconstruction Processes in System Reliability Problems), Kyiv, 1982, 236 р. (in Russ.)Королюк В. С. Стохастические модели систем. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.Korolyuk V.S. Stokhasticheskiye modeli sistem (Stochastic Systems Models), Kyiv, 1989, 208 р. (in Russ.)Корлат А. Н., Кузнецов В. Н., Новиков М. И., Турбин А. Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания. Кишинев: Штиинца, 1991. 276 с.Korlat A.N., Kuznetsov V.N., Novikov M.I., Turbin A.F. Polumarkovskiye modeli vosstanavlivayemykh sistem i sistem massovogo obsluzhivaniya (Semi-Markovian Models of Recoverable Systems and Queuing Systems), Kishinev, 1991, 276 р. (in Russ.)Песчанский А. И., Коваленко А. И. Стационарные характеристики однолинейной системы с потерями и контролем качества обслуживания // Системные технологии: Межвуз. сб. науч. тр. Днепропетровск, 2011. Вып. 4(75). С.129—139.Peschansky A.I., Kovalenko A.I. Sistemnyye tekhnologii (System Technologies), Dnepropetrovsk, 2011, no. 4(75), pp. 129–139. (in Russ.)Песчанский А. И. Полумарковская модель однолинейной системы обслуживания с потерями и диагностикой качества обслуживания в момент поступления следующей заявки // Вестн. СевГТУ: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. 2012. Вып. 125. С. 55—62.Peschansky A.I. Vestnik Sevastopol'skogo Gosudarstvennogo Tekhnologicheskogo Universiteta: Avtomatizatsiya protsessov i upravleniye (Bulletin of the Sevastopol State Technological University: Process Automation and Control), 2012, no. 125, pp. 55–62. (in Russ.)Peschansky A. I. Stationary Characteristics of the Single-Server Queue System with Losses and Immediate Service Quality Control // Appl. Mathematics. 2011. Vol. 2, N 4. P. 403—409. DOI: 10.4236/am.2011.24049.Peschansky A.I. Applied Mathematics, 2011, no. 4(2), pp. 403–409, DOI: 10.4236/am.2011.24049.Песчанский А. И. Полумарковская модель однолинейной системы с потерями и мгновенным контролем качества обслуживания // Вестн. СевНТУ: Сер. Информатика, электроника, связь: Сб. науч. тр. 2011. Вып.114. С. 47—52.Peschansky A.I. Vestnik Sevastopol'skogo Natsional'nogo Tekhnicheskogo Universiteta: seriya Informatika, elektronika, svyaz' (Bulletin of the Sevastopol National Technical University. Series Informatics, Electronics, Communications), 2011, no. 114, pp. 47–52. (in Russ.)Kendall D. Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain // Ann. Math. Statistics. 1953. Vol. 24, N 3. P. 338—354.Kendall D. Ann. Math. Statistics, 1953, no. 3(24), pp. 338–354.Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische Methoden. Berlin: VEB Verlag Technik, 1983. 392 p.Beichelt F., Franken P. Zuverlässigkeit und Instanphaltung, Mathematische Methoden, Berlin, VEB Verlag Technik, 1983, 392 p.Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.Raynshke K., Ushakov I.A. Otsenka nadezhnosti sistem s ispol'zovaniyem grafov (System Reliability Assessment Using Graphs), Moscow, 1988, 208 р. (in Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.