priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2024-67-9-751-758pribor-35Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGОптимальное объединение интервалов группированной выборки для применения критерия типа χ2Optimal Aggregation of Clustered Sample Intervals for Applying the χ2 TestВинникП. М.VinnikP. М.

Петр Михайлович Винник, д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой

кафедра высшей математики

Санкт-Петербург

Petr M. Vinnik, Dr. Sci., Associate Professor, Head of the Department

Department of Higher Mathematics

St. Petersburg

vinnik_pm@voenmeh.ruВинникТ. В.VinnikТ. V.

Татьяна Викторовна Винник, канд. техн. наук,, доцент

кафедра математики

Санкт-Петербург

Tatyana V. Vinnik, PhD, Associate Professor

Department of Mathematics

St. Petersburg

vinnik.tv92@gmail.comЕськоваЕ. А.ЕskovaЕ. А.

Екатерина Александровна Еськова, ассистент

кафедра высшей математики

Санкт-Петербург

Ekaterina A. Eskova, Assistant

Department of Higher Mathematics

St. Petersburg

eskova_ea@voenmeh.ruБалтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. УстиноваD. F. Ustinov Baltic State Technical University VOENMEHСанкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)St. Petersburg State Institute of Technology202425112024679751758Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20242024Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/35

   Обсуждается применение интервалов равной длины или интервалов равной вероятности для использования критерия типа χ2. При этом интервалы равной вероятности предопределяются проверяемым законом распределения. При формировании исходной выборки по данным реального производства она часто сразу является группированной с заранее заданными и неизменяемыми на производстве границами группировки и может не удовлетворять рекомендациям по применению критериев типа χ2. Предложен способ построения набора оптимальных интервалов группировки путем объединения некоторых из имеющихся в исходной выборке интервалов. Под оптимальным набором таких интервалов понимается набор интервалов, имеющий наименьшее квадратическое отклонение взвешенных частот попадания от дискретного равномерного распределения, что позволяет не изменять набор интервалов при смене подбираемого закона распределения и автоматически решить проблему выбора оптимального числа интервалов. Перечислены некоторые свойства таких наборов, рассмотрены примеры возникающих при их построении ситуаций, приведен пример формирования оптимального набора.

   The use of intervals of equal length or intervals of equal probability for using the χ2-type criterion is discussed. In this case, intervals of equal probability are predetermined by the distribution law being tested. When forming the initial sample based on real production data, it is often immediately grouped with predetermined and unchangeable grouping boundaries in production and may not satisfy the recommendations for applying χ2-type criteria. A method is proposed for constructing a set of optimal grouping intervals by combining some of the intervals available in the initial sample. An optimal set of such intervals is understood to be a set of intervals that has the least square deviation of weighted frequencies of hits from a discrete uniform distribution, which makes it possible not to change the set of intervals when changing the selected distribution law and to automatically solve the problem of choosing the optimal number of intervals. Some properties of such sets are listed, examples of situations arising during their construction are considered, and an example of forming such an optimal set is given.

закон распределенияэмпирические данныекритерий типа χ2интервалы группировкигруппированные выборкиоптимальность группировкиdistribution lawempirical dataχ2 testgrouping intervalsgrouped samplesgrouping optimalityReferencesМиттаг Х.-Й., Ринне Х. Статистические методы обеспечения качества. М.: Машиностроение, 1995. 616 с.Mittag H.-J., Rinne H. Statistische Methoden der Qualitatssicherung, Munchen, Wien, 1993.Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 816 с.Kobzar' A.I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov (Applied Mathematical Statistics. For Engineers and Scientists), Moscow, 2006, 816 р. (in Russ.)Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ одномерных наблюдений по частично группированным данным // Изв. вузов. Физика. 1995. № 9. С. 39–45.Lemeshko B.Yu., Postovalov S.N. Izvestiya vuzov. Fizika, 1995, no. 9, pp. 39–45. (in Russ.)Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений Л.: Энергоатомиздат, 1991. 304 c.Novitskiy P.V., Zograf I.A. Otsenka pogreshnostey rezul'tatov izmereniy (Evaluation of Errors in Measurement Results), Leningrad, 1991, 304 р. (in Russ.)Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 664 c.Hald A. Statistical Theory with Engineering Applications, NY, Wiley, 1952, 783 p.Mann H. B., Wald A. On the choice of the number of class intervals in the application of the chi square test // Ann. Math. Stat. 1942. Vol. 13. P. 306–317.Mann H.B., Wald A. Ann. Math. Stat., 1942, vol. 13, рр. 306–317.Williams C. A. Jr. On the Choice of the Number and Width of Classes for the Chi-Square Test of Goodness of Fit // Journal of the American Statistical Association. 1950. Vol. 45, N 249. P. 77–86.Williams C.A., jr., Journal of the American Statistical Association, 1950, no. 249(45), pp. 77–86.Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельных распределений статистик хи-квадрат Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64, № 5. С. 56–63.Lemeshko B.Yu., Postovalov S.N. Industrial Laboratory. Diagnostics of Materials, 1998, no. 5(64), pp. 56–63. (in Russ.)Лемешко Б. Ю., Чимитова Е. В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа χ<sup>2</sup> // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. С. 61–67.Lemeshko B.Yu., Chimitova E.V. Industrial Laboratory. Diagnostics of Materials, 2003, vol. 69, рр. 61–67. (in Russ.)Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группированным выборкам. М.: Наука, 1966. 176 c.Kulldorff G. Contributions to the theory of estimation from grouped and partially grouped samples, NY, John Wiley, 1963, 144 p.Энциклопедия статистических терминов. Т. 1. Методологические основы статистики. М.: Федеральная служба государственной статистики, 2011 [Электронный ресурс]: https://03.rosstat.gov.ru/storage/mediabank/05_tom1(1).pdf, 18.03.2024.https://03.rosstat.gov.ru/storage/mediabank/05_tom1(1).pdf.Винник П. М., Винник Т. В., Еськова Е. А. Математические задачи, возникающие при статистическом контроле технологических процессов машиностроительных производств // Вестник образования и развития науки Российской академии естественных наук. 2022. № 4. С. 24–30. DOI: 10.26163/RAEN.2022.32.23.003.Vinnik P.M., Vinnik T.V., Eskova E.A. Bulletin of Education and Development of Science of the Russian Academy of Natural Sciences, 2022, no. 4, pp. 24–30, DOI: 10.26163/RAEN.2022.32.23.003. (in Russ.)Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982. 256 с.Andrews G.E. The theory of partitions, Addison-Wesley Pub. Co., 1976, 255 p.Korf R. Multi-way number partitioning // IJCAI’09: Proc. of the 21<sup>st</sup> Intern. Joint Conf. on Artificial Intelligence, Pasadena, California, USA, July 11–17, 2009. P. 538–543.Korf R. IJCAI'09, Proceedings of the 21<sup>st</sup> International Joint Conference on Artificial Intelligence Pasadena, California, USA, July 11-17, 2009, pp. 538–543.Бардасов С. А. Предпочтительность метода равных частот относительно метода равных интервалов при построении вариационных рядов // Вестн. Тюменск. гос. ун-та. 2003. № 5. С. 217–219.Bardasov S.A. Bulletin of Tyumen State University, 2003, no. 5, pp. 217–219. (in Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.