priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2025-68-6-465-481pribor-378Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGАналитический подход к выборочному поиску функций вероятностей состояний для марковских процессовAnalytical Approach to the Selective Search of State Probability Functions for Markov ProcessesЗемсковА. В.ZemskovA. V.

Алексей Викторович Земсков— д-р техн. наук, профессор,  кафедра математического моделирования и прикладной информатики; профессор,

Санкт-Петербург.

Alexey V. Zemskov —Dr. Sci., Professor; Department of Mathematical Modeling and Applied Informatics; Professor; 

St. Petersburg.

aleksei.zemskov@yandex.ruГосударственный университет морского и речного флота им. адмирала С. О. МакароваAdmiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping202517072025686465481Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20252025Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/378

Предлагается аналитический подход к исследованию марковских процессов. С использованием алгоритма выборочного поиска операторов „вход–выход“ и простых аналитических процедур получены временные функции вероятностей при вещественных и комплексно-сопряженных собственных значениях матрицы интенсивностей переходов. Даны оценки времени наступления стационарного режима. Рассмотрены примеры анализа однородных и неоднородных марковских процессов с кусочно-постоянными интенсивностями переходов, немарковских процессов с псевдосостояниями, порождаемыми потоками Эрланга, а также обоснования требований к интенсивности восстановления (эффективности ремонтного органа) в технической системе. Основные результаты проиллюстрированы оценкой вероятностей в строгой аналитической форме.

An analytical approach to the study of Markov processes is proposed. Using an algorithm for selective search of input–output operators and simple analytical procedures, time probability functions are obtained for real and complex conjugate eigenvalues of the transition intensity matrix. Estimates of the time of onset of the stationary regime are given. Examples of the analysis of homogeneous and heterogeneous Markov processes with piecewise constant transition intensities, non-Markov processes with pseudo-states generated by Erlang flows, as well as substantiation of requirements for the intensity of restoration (efficiency of the repair body) in a technical system are considered. The main results are illustrated by probability estimation in a rigorous analytical form.

марковский процессматрица интенсивностей переходовоператор „вход-выход“матрица передаточных функцийсобственные значенияфункция вероятности состоянияMarkov processmatrix of transition intensitiesinput-output operatormatrix of transfer functionseigenvaluesprobability function of the stateReferencesКлейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. 432 с.Kleinrock L. Queueing Systems, NY, Wiley Interscience, 1975–1976.Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.Ventzel E.S. Issledovaniye operatsiy (Operations Research), Moscow, 1972, 552 р. (in Russ.)Фурман Я. А., Юрьев А. Н., Яншин В. В. Цифровые методы обработки и распознавания бинарных изображений. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. 245 с.Furman Ya.A., Yuryev A.N., Yanshin V.V. Tsifrovyye metody obrabotki i raspoznavaniya binarnykh izobrazheniy (Digital Methods of Processing and Recognition of Binary Images), Krasnoyarsk, 1992, 245 р. (in Russ.)Земсков А. В. Аналитический подход к выборочному поиску функций вероятностей состояний в марковских цепях // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 12. С. 1035–1049. DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-12-1035-1049.Zemskov A.V. Journal of Instrument Engineering, 2023, no. 12(66), pp. 1035–1049, DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-12-1035-1049.Земсков А. В. Аналитический подход к исследованию неоднородных марковских цепей с кусочно-постоянными изменениями переходных вероятностей // Изв. вузов. Приборостроение. 2024. Т. 67, № 8. С. 657–669. DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-8-657-669.Zemskov A.V. Journal of Instrument Engineering, 2024, no. 8(67), pp. 657–669, DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-8-657-669. (in Russ.)Clarke A. B. The time-dependent waiting line problem. Umv Michigan Rept. M720-1RS9. 1953.Clarke A.B. The time-dependent waiting line problem, Umv Michigan Rept. M720-1RS9, 1953.Clarke A. B. On time-dependent waiting line processes // Ann. Math. Statist. 1953. Vol. 24. P. 491–492.Clarke A.B. Ann. Math. Statist., 1953, vol. 24, рр. 491–492.Lemoine A. J. On queues with periodic Poisson input // J. Appl. Prob. 1981. Vol. 18. P. 889–900.Lemoine A.J. J. Appl. Prob., 1981, vol. 18, рр. 889–900.Harrison P. G. Transient Behaviour of Queueing Networks // J. Appl. Prob. 1981. Vol. 18, N 2. P. 482–490.Harrison P.G. J. Appl. Prob., 1981, no. 2(18), pp. 482–490.Коган Я. А., Литвин В. Г. К вычислению характеристик системы массового обслуживания с конечным буфером, работающей в случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. С. 49–57.Kogan Ya.A., Litvin V.G. Autom. Remote Control, 1976, no. 12(37), pp. 1828–1835.Дудин А. Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная техника. 1985. № 2. С. 27–29.Dudin A.N. Automatic Control and Computer Sciences, 1985, no. 2, pp. 27–29. (in Russ.)Бондрова О. В., Крылова Д. С., Головко Н. И., Жук Т. А. Вывод уравнений для систем массового обслуживания с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Вестник ВГУ: Серия: физика. математика. 2015. № 4. С. 89–100.Bondrova O.V., Krylova D.S., Golovko N.I., Zhuk T.A. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2015, no. 4, pp. 89–100. (in Russ.)Головко Н. И., Каретник В. О., Пелешок О. В. СМО с бесконечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока // Автоматика и вычислительная техника. 2009. № 10. С. 75–96.Golovko N.I., Karetnik V.O., Peleshok O.V. Automatic Control and Computer Sciences, 2009, no. 10, pp. 75–96. (in Russ.)Вытовтов К. А., Барабанова Е. А. Аналитический метод анализа неоднородных непрерывных марковских процессов с кусочно-постоянными интенсивностями перехода // Автоматика и телемеханика. 2021. № 12. С. 91–104. DOI: 10.31857/S0005231021120060.Vytovtov K.A. and Barabanova E.A. Automation and Remote Control, 2021, no. 12, рр. 2112–2124, DOI: 10.31857/S0005231021120060.Бабаков Н. А., Воронов А. А., Воронова А. А. и др. Теория автоматического управления. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. М.: Высш. шк., 1986. 367 с.Babakov N.A., Voronov A.A., Voronova A.A. et al. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. Ch. I. Teoriya lineynykh sistem avtomaticheskogo upravleniya (Theory of Automatic Control. Part I. Theory of Linear Systems of Automatic Control), Moscow, 1986, 367 р. (in Russ.)Подчукаев В. А. Теория автоматического управления (аналитические методы). М.: Физматлит, 2005. 392 с.Podchukaev V.A. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya (analiticheskiye metody) (Theory of Automatic Control (Analytical Methods)), Moscow, 2005, 392 р. (in Russ.)Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1996.Доманова Е. Д. Матричная экспонента. Теория и практика. Новосибирск: Изд-во ННИГУ, 2020. 38 с.Domanova E.D. Matrichnaya eksponenta. Teoriya i praktika (Matrix Exponential. Theory and Practice), Novosibirsk, 2020, 38 р. (in Russ.)Денисова А. В. Применение операторного метода и метода переменных состояния для расчета переходных процессов. СПб: НИУ ИТМО, 2012. 105 с.Denisova A.V. Primeneniye operatornogo metoda i metoda peremennykh sostoyaniya dlya rascheta perekhodnykh protsessov (Application of the Operator Method and the Method of State Variables for Calculating Transient Processes), St. Petersburg, 2012, 105 р. (in Russ.)Быстров Л. Г., Сафронов В. В. Новые компьютерные алгоритмы вычисления матричной экспоненты в приложении к исследованию линейных динамических систем автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2012. № 8. С. 18–25.Bystrov L.G., Safronov V.V. Mechatronics, automation, control, 2012, no. 8, pp. 18–25. (in Russ.)Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 654 с.Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Vychislitel’nyye metody lineynoy algebry (Computational Methods of Linear Algebra), Moscow, 1960, 654 р. (in Russ.)Земсков А. В. Метод получения матрицы передаточных функций на ЭВМ // Изв. вузов. Приборостроение. 1989. Т. 32, № 11. С. 20–22.Zemskov A.V. Journal of Instrument Engineering, 1989, no. 11(32), pp. 20–22. (in Russ.)Земсков В. А., Земсков А. В. Метод определения фундаментальных матриц в непрерывных и дискретных системах автоматического управления и его практические приложения // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения. Тр. междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2000. С. 17–20.Zemskov V.A., Zemskov A.V. Analiticheskaya teoriya avtomaticheskogo upravleniya i yeye prilozheniya (Analytical Theory of Automatic Control and Its Applications), Proceedings of the International Scientific Conference, Saratov, 2000, рр. 17–20. (in Russ.)Земсков А. В. Анализ динамических показателей качества в системах с колебательными переходными процессами // Изв. вузов. Приборостроение. 1990. Т. 33. № 5. С. 8–11.Zemskov A.V. Journal of Instrument Engineering, 1990, no. 5(33), pp. 8–11. (in Russ.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.