priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2025-68-10-838-843pribor-416Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGАналитический метод поиска неизвестных постоянных параметров линейных регрессионных неравенствAnalytical method for finding unknown constant parameters of linear regression inequalitiesЗенкинА. М.ZenkinA. M.

Артемий Михайлович Зенкин — аспирант, факультет систем управления и робототехники; ассистент

Санкт-Петербург

Artemii M. Zenkin — Faculty of Control Systems and Robotics; Assistant

St. Petersburg

a.zenkin@itmo.ruБобцовА. А.BobtsovA. A.

Алексей Алексеевич Бобцов — д-р техн. наук, профессор; факультет систем управления и робототехники; профессор

Санкт-Петербург

Alexey A. Bobtsov — PhD, Professor; Faculty of Control Systems and Robotics

St. Petersburg

bobtsov@mail.ruУниверситет ИТМОРоссияITMO UniversityRussian Federation2025151120256810838843Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20252025Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/416

Рассмотрена система линейных регрессионных неравенств с неизвестными постоянными параметрами, число которых предполагается заданным и конечным. Решена задача построения области компонент допустимых значений параметров, обеспечивающих выполнение заданных неравенств. Предложен метод, основанный на процедуре динамического расширения регрессора и выборе активных ограничений — неравенств, обращающихся в равенства на границе области допустимых параметров, — что позволяет свести исходную задачу к решению квадратной системы линейных уравнений. Применение формулы Крамера и неравенства Адамара к полученной системе позволяет получить аналитическую верхнюю оценку ее неизвестных параметров. Корректность предложенного метода иллюстрируется численным моделированием, в отличие от численных методов оптимизации, он не требует итерационных вычислений и обеспечивает строгую гарантированную оценку, справедливую для всего класса допустимых данных. Сформулирована и доказана теорема, устанавливающая указанную оценку в общем случае. 

A system of linear regression inequalities with unknown constant parameters, whose number is assumed to be given and finite, is considered. The problem of constructing the domain of the components of the vector of unknown parameters that ensure the validity of the prescribed inequalities is addressed. A method is proposed, based on the procedure of dynamic regressor extension and the selection of active constraints, which reduces the original problem to solving a square system of linear equations. The application of Cramer’s rule and Hadamard’s inequality to the resulting system makes it possible to obtain an analytical upper bound for the components of the vector of unknown parameters. The correctness of the proposed method is illustrated by numerical simulation. Unlike numerical optimization methods, the presented approach does not require iterative computations and provides a rigorous guaranteed bound valid for the entire class of admissible data. A theorem establishing this bound in the general case is formulated and proved. The conclusion discusses the prospects for further development of the proposed approach. 

линейное регрессионное неравенстводинамическое расширение регрессораформула Крамеранеравенство Адамараlinear regression inequalitydynamic regressor extensionCramer’s ruleHadamard’s inequalityReferencesSchollmeyer G., Augustin T. Statistical modeling under partial identification: Distinguishing three types of identification regions in regression analysis with interval data // International Journal of Approximate Reasoning. 2015. Vol. 56, pt. B. P. 224–248. DOI: 10.1016/j.ijar.2014.07.003.Schollmeyer G., Augustin T. International Journal of Approximate Reasoning, 2015, vol. 56, pt. B, рр. 224–248, DOI: 10.1016/j.ijar.2014.07.003.Ben-Moshe D. Identification of linear regressions with errors in all variables // Econometric Theory. 2021. Vol. 37, N 4. P. 633–663. DOI: 10.1017/S0266466620000250.Ben-Moshe D. Econometric Theory, 2021, no. 4(37), pp. 633–663, DOI: 10.1017/S0266466620000250.Löhne A., Weißing B., Ciripoi A. A solution method for arbitrary polyhedral convex set optimization problems, 2023 [Электронный ресурс]: https://arxiv.org/html/2310.06602v3/.Löhne A., Weißing B., Ciripoi A. Optimization, 2024, https://arxiv.org/html/2310.06602v3/.Ziegler G. M., Henk M., Richter-Gebert J. Basic Properties of Convex Polytopes // Handbook of Discrete and Computational Geometry. Boca Raton: CRC Press, 2017. P. 383–413.Ziegler G.M.., Henk M., Richter-Gebert J. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Boca Raton, CRC Press, 2017, рр. 383–413.Cánovas M. J., Parra J. Lipschitz stability in convex optimization // Set-Valued and Variational Analysis. 2025. Vol. 33, N 3. P. 25–49. DOI: 10.1007/s11228-025-00760-8.Cánovas M.J., Parra J. Set-Valued and Variational Analysis, 2025, no. 3(33), pp. 25–49, DOI: 10.1007/s11228-025-00760-8.Nwaigwe E., Wobo O. G. Application of Cramer’s Rule and Digital Computing in Analyzing Multiple Linear Regression // FNAS Journal of Mathematics, Statistics and Computing. 2024. Vol. 2, N 1. Р. 66–73.Nwaigwe E., Wobo O.G. FNAS Journal of Mathematics, Statistics and Computing, 2024, no. 1(2), pp. 66–73.Hu H., Sremac S., Woerdeman H. J., Wolkowicz H. Finding a Maximal Determinant Principal Submatrix via Hadamard’s Inequality and Conic Relaxations // arXiv:2508.15608. 2025.Hu H., Sremac S., Woerdeman H.J., Wolkowicz H., arXiv:2508.15608, 2025.Hillar C. J., Wibisono A. A Hadamard-type lower bound for symmetric diagonally dominant positive matrices // Linear Algebra and its Applications. 2015. Vol. 472. Р. 135–141. DOI:10.1016/j.laa.2015.01.037.Hillar C.J., Wibisono A. Linear Algebra and its Applications, 2015, vol. 472, рр. 135–141, DOI:10.1016/j.laa.2015.01.037.Hadamard J. Résolution d’une question relative aux déterminants // Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. Vol. 17. P. 240–246.Hadamard J. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, рр. 240–246.Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance Enhancement of Parameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. Vol. 62, is. 7. P. 3546–3550. DOI: 10.1109/TAC.2016.2614889.Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, no. 7(62), pp. 3546–3550, DOI: 10.1109/TAC.2016.2614889.Ortega R., Aranovskiy S., Pyrkin A., Astolfi A., Bobtsov A. New results on parameter estimation via dynamic regressor extension and mixing: Continuous and discrete-time cases // IEEE Transactions on Automatic Control. 2019. Vol. 66, N 5. P. 2265–2272.Ortega R., Aranovskiy S., Pyrkin A., Astolfi A., Bobtsov A. IEEE Transactions on Automatic Control, 2019, no. 5(66), pp. 2265–2272.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.