priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2026-69-1-22-33pribor-451Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGSDC-методы оптимального управления нелинейными системами на конечном интервале времениSDC-methods of optimal control of nonlinear systems on a finite time intervalКабановА. А.KabanovA. A.

Алексей Александрович Кабанов —канд. техн. наук, доцент; научно-исследовательская лаборатория „Робототехника и интеллектуальные системы управления“; заведующий лабораторией

Севастополь

Alexey A. Kabanov —  PhD, Associate Professor; Scientific Research Laboratory of Robotics and Intelligent Control Systems; Head of the Laboratory

Sevastopol

kabanovaleksey@gmail.comСевастопольский государственный университетSevastopol State University2026140220266912233Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20262026Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/451

Решается задача точного терминального управления нелинейными системами с зависящими от состояния коэффициентами (State-Dependent Coefficients — SDC) на конечном интервале времени. Цель статьи — разработка метода синтеза субоптимального управления, обеспечивающего высокую точность приведения выхода системы в заданное значение к фиксированному моменту времени. Обсуждается дальнейшее развитие метода обратного интегрирования уравнения Риккати с зависящими от состояния коэффициентами за счет использования терминального регулятора, синтезированного для вспомогательной задачи управления в обратном времени, для определения состояния системы при обратном интегрировании вместо стандартного стабилизирующего регулятора (SDRE-регулятор). Эффективность метода проверена на эталонной задаче управления осциллятором Ван дер Поля. Приведены результаты моделирования, демонстрирующие более высокую точность предложенного терминального метода обратного интегрирования по сравнению с классическим подходом, использующим SDRE-регулятор, и сопоставимость с итерационным методом аппроксимирующей последовательности уравнения Риккати по точности. Метод рекомендован для задач точного управления сложными объектами на конечных интервалах времени.

The problem of precise terminal control of nonlinear systems with State-Dependent Coefficients (SDC) over a finite time interval is solved. The purpose of the article is to develop a method for synthesizing suboptimal control, which ensures high accuracy of bringing the system output to a set value by a fixed point in time. Further development of the method of inverse integration of the Riccati equation with state-dependent coefficients is discussed by using a terminal controller synthesized for the auxiliary control problem in reverse time to determine the state of the system during reverse integration instead of the standard stabilizing regulator (SDRE regulator). The effectiveness of the method is been tested on the reference task of controlling the Van der Pol oscillator. The simulation results are presented, demonstrating a higher accuracy of the proposed terminal method of inverse integration compared with the classical approach using the SDRE controller, and comparability with the iterative method of approximating the sequence of the Riccati equation. The method is recommended for the tasks of precise control of complex objects at finite time intervals.

нелинейные системыуравнение Риккатитерминальное управлениеоптимальная системаnonlinear systemsRiccati equationterminal controloptimal systemReferencesPearson J. D. Approximation methods in optimal control I. Sub-optimal control // Intern. J. of Electr. 1962. N 13(5). P. 439–469.Pearson J.D. Intern. J. of Electr., 1962, no. 5(13), pp. 439–469.Nekoo S. Tutorial and review on the state-dependent Riccat iequation // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 8. P. 109–166.Nekoo S. J. of Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 8, рр. 109–166.Korayem M. H., Lademakhi N. Y. Integrated nonlinear suboptimal control-and-estimator based on the state-dependent differential Riccati equation approach // Optimal Control Applications & Methods. 2023. Vol. 44(4). P. 1716–1733.Korayem M.H. & Lademakhi N.Y. Optimal Control Applications & Methods, 2023, no. 4(44), pp. 1716–1733.Nasiri N., Fakharian A., Menhaj M. B. Application of combined finite-time state-dependent Riccati equation terminal sliding mode control to robotic manipulators // 10th Intern. Conf. on Artificial Intelligence and Robotics. 2024. P. 215–220.Nasiri N., Fakharian A., Menhaj M.B. 10th Intern. Conf. on Artificial Intelligence and Robotics, 2024, рр. 215–220.Kabanov A., Kramar V., Lipko I., Dementiev K. Cooperative control of underwater vehicle–manipulator systems based on the SDC method // Sensors. 2022. Vol. 22(13). P. 3638.Kabanov A., Kramar V., Lipko I., & Dementiev K. Sensors, 2022, no. 13(22), pp. 3638.Lin L. G., Wu R. S., Huang P. K., Xin M., Wu C. T., Lin W. W. Fast SDDRE-based maneuvering-target interception at prespecified orientation // IEEE Trans. on Control Systems Technology. 2023. Vol. 31(6). P. 2895–2902.Lin L.G., Wu R.S., Huang P.K., Xin M., Wu C.T., & Lin W.W. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2023, no. 6(31), pp. 2895–2902.Guerrero-Sánchez M. E., Lozano R., Castillo P., Hernández-González O., García-Beltrán C., Valencia-Palomo G. Nonlinear control strategies for a UAV carrying a load with swing attenuation // Appl. Mathematical Modelling. 2021. Vol. 91. P. 709–722.Guerrero-Sánchez M.E., Lozano R., Castillo P., Hernández-González O., García-Beltrán C., Valencia-Palomo G. Applied Mathematical Modelling, 2021, vol. 91, рр. 709–722.Nekoo S., Anibal O. Experimental Backward Integration for State-Dependent Differential Riccati Equation (SDDRE): A Case Study on Flapping-Wing Flying Robot // Control Engineering Practice. 2024. Vol. 137. P. 106036.Nekoo S., Anibal O. Control Engineering Practice, 2024, vol. 137, рр. 106036.Makarov D. SDDRE based approximate solution in trajectory tracking control problem for a model of two-wheeled differentially driven mobile robot // 14th Intern. Conf. on Management of Large-Scale System Development. 2021. P. 1–5.Makarov D. 14th Intern. Conf. Management of Large-scale System Development, 2021, рр. 1–5.Белинская Ю. С., Макаров Д. А. Построение нелинейной обратной связи в задаче слежения для модели колесного робота, основанное на технике SDDRE // Программные системы: теория и приложения. 2023. Т. 14, № 4. C. 189–206.Belinskaya Yu.S., Makarov D.A. Software Systems: Theory and Applications, 2023, no. 4(14), pp. 189–206.Korayem M. H., Nekoo S. Finite-time state-dependent Riccati equation for time-varying nonaffine systems: Rigid and flexible joint manipulator control // ISA Transactions. 2015. Vol. 40. P. 125–144.Korayem M. H., Nekoo S. ISA Transactions, 2015, vol. 40, рр. 125–144.Heydari A., Balakrishnan S. N. Closed-form solution to finite-horizon suboptimal control of nonlinear systems: closed form solution to finite-horizon suboptimal control // Intern. J. Robust. Nonlinear Control. 2015. Vol. 25, N 15. P. 2687–2704.Heydari A., Balakrishnan S.N. Intern. J. Robust. Nonlinear Control, 2015, no. 15(25), pp. 2687–2704. 13. Korayem M.H., Nekoo S.R. Second RSI/ISM Intern. Conf. on Robotics and Mechatronics, 2014, рр. 878–883.Korayem M. H., Nekoo S. R. Nonlinear optimal control via finite time horizon state-dependent Riccati equation // 2nd RSI/ISM Intern. Conf. on Robotics and Mechatronics. 2014. P. 878–883.Jung J., Park S.Y., Kim S.W., Eun Y., Chang Y.K. Advances in Space Research, 2013, no. 3(37), pp. 434–435.Jung J., Park S. Y., Kim S. W., Eun Y., Chang Y. K. Hardware-in-the-loop simulations of spacecraft attitude synchronization using the state-dependent Riccati equation technique // Advances in Space Research. 2013. Vol. 37(3). P. 434–435.Çimen T. and Banks S.P. Systems & Control Letters, 2004, no. 5(39), pp. 327–346.Çimen T., Banks S. P. Global optimal feedback control for general nonlinear systems with nonquadratic performance criteria // Systems & Control Letters. 2004. Vol. 39, N 5. P. 327–346.Owis A.H., Amer M.A. Theory and Applications of Mathematics & Computer Science, 2013, no. 2(3), pp. 103–113.Owis A. H., Amer M. A. Satellite formation control using the approximating sequence Riccati equations // Theory and Applications of Mathematics & Computer Science. 2013. Vol. 3(2). P. 103–113.Gomroki M.M., Topputo F., Tekinalp O., Bernelli-Zazzera F. Astrodynamics Network AstroNet-II, Springer, 2016, рр. 109–120.Gomroki M. M., Topputo F., Tekinalp O., Bernelli-Zazzera F. Two ASRE approaches with application to spacecraft coulomb formations // Astrodynamics Network AstroNet-II. Springer, 2016. P. 109–120.Bryson A.E., Ho Yu-Chi. Applied Optimal Control: Optimization, Estimation, and Control, 1975.Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.Kozyrev V.G. Dynamic systems, 2001, no. 17, pp. 18–22. (in Russ.)Козырев В. Г. Терминальная ошибка почти точного оптимального приведения в ноль // Динамические системы. 2001. Вып. 17. С. 18–22.Kabanov A.A. Optimizatsiya proizvodstvennykh protsessov, 2010, no. 12, pp. 202–210. (in Russ.)Кабанов А. А. Решение сингулярно возмущенной непрерывной задачи асимптотически точного терминального приведения в ноль // Оптимизация производственных процессов. 2010. Вып. 12. С. 202–210.Kabanov A.A., Dubovik S.A. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2021, no. 6(22), pp. 291–297. (in Russ.)Кабанов А. А., Дубовик С. А. Численные методы контроля редких событий в нелинейных стохастических си стемах // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 6. С. 291–297.Dubovik S.A., Kabanov A.A. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2022, no. 8(23), pp. 395–405. (in Russ.)Дубовик С. А., Кабанов А. А. Асимптотический метод прогнозирования рисков в задачах стохастического контроля и управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2022. Т. 23, № 8. С. 395–405.Kabanov A. A. Proc. Intern. Conf. on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, ICIEAM 2022, Sochi, 2022.Kabanov A. A. Finite-time State-Department coefficient method for optimal control of nonlinear cyctems // Proc. Intern. Conf. on Ind. Eng., Appl. and Manufact., ICIEAM 2022, Sochi, 16 May 2022.Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications, CRC Press, 2001. 25. Korayem M.H., Nekoo S.R. ISA Transactions, 2015, vol. 57, рр. 117–135.Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications. CRC Press, 2001.Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications. CRC Press, 2001.Korayem M. H., Nekoo S. R. State-dependent differential Riccati equation to track control of time-varying systems with state and control nonlinearities // ISA Transactions. 2015. Vol. 57. P. 117–135.Korayem M. H., Nekoo S. R. State-dependent differential Riccati equation to track control of time-varying systems with state and control nonlinearities // ISA Transactions. 2015. Vol. 57. P. 117–135.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.