priborИзвестия высших учебных заведений. ПриборостроениеJournal of Instrument Engineering0021-34542500-0381Национальный исследовательский университет ИТМО10.17586/0021-3454-2024-67-3-220-229pribor-47Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, MANAGEMENT AND INFORMATION PROCESSINGМультистабильная динамика системы управления с однополярной широтно-импульсной модуляциейMultistable Dynamics of a Control System with Unipolar Pulse-Width ModulationЖусубалиевЖ. Т.ZhusubaliyevZh. T.

Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев — д-р техн. наук, профессор,

Курск. 

Zhanybai T. Zhusubaliyev — Dr. Sci., Professor,

Kursk.

zhanybai@gmail.comАбдирасуловА. З.AbdirasulovA. Z.

Айтибек Закирович Абдирасулов — директор,

Ош.

Aitibek Z. Abdirasulov - Director,

Osh.

aitibek.osh@gmail.comСопуевУ. А.SopuevU. A.

Уланбек Адахимжанович Сопуев — канд. физ.-мат. наук, доцент, декан,

Ош.

Ulanbek A. Sopuev — PhD, Associate Professor, Dean, 

Osh.

ulansopuev@mail.ruКоломиецЕ. А.KolomietsE. A.

Елена Александровна Коломиец — канд. техн. наук; ст. преподаватель,

Курск.

Elena A. Kolomiets — PhD, Senior Lecturer,

Kursk.

lenus07@yandex.ruЮго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники; Международная научная лаборатория динамики негладких системSouthwest State University, Department of Computer Science; International Scientific Laboratory for Dynamics of Non-Smooth SystemsОшский государственный университет, IT академияOsh State University, IT AcademyОшский государственный университет, факультет математики и информационных технологийOsh State University, Faculty of Mathematics and Information TechnologyЮго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники; Международная научная лаборатория динамики негладких системSouthwest State University, Department of Computer Science, International Scientific Laboratory for Dynamics of Non-Smooth Systems202425112024673220229Copyright © Национальный исследовательский университет ИТМО, 20242024Национальный исследовательский университет ИТМОНациональный исследовательский университет ИТМОhttps://pribor.ifmo.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://pribor.ifmo.ru/jour/article/view/47

Исследуется динамика негладкого отображения с большим числом многообразий переключения, описывающего поведение однополярной широтно-импульсной системы управления энергообеспечением нагревательной установки (печи) для выращивания монокристаллов сапфира.  Показано, что такое отображение демонстрирует особый тип мультистабильности, когда в фазовом пространстве динамической системы сосуществуют несколько вложенных друг в друга притягивающих замкнутых инвариантных кривых, соответствующих устойчивым двухчастотным колебаниям. Результаты исследований важны для создания новых способов прогнозирования, обнаружения, подавления нерегулярных колебаний и катастрофических явлений, возникающих при вариации параметров и воздействии помех, а также для проектирования импульсных систем автоматического управления с заданными динамическими свойствами и прогнозируемой динамикой. 

The dynamics of a non-smooth mapping with a large number of switching manifolds, which describes the behavior of a unipolar pulse-width control system for the energy supply of a heating installation (furnace) for growing sapphire single crystals, is studied. Such a mapping is shown to demonstrate a special type of multistability, when several nested attractive closed invariant curves corresponding to stable two-frequency oscillations coexist in the phase space of the dynamic system. Results of the research are important for creating new methods of predicting, detecting, and suppressing irregular oscillations and catastrophic phenomena that arise when parameters vary and are exposed to interference, as well as for designing pulsed automatic control systems with specified dynamic properties and predictable dynamics.  

мультистабильностьбифуркации граничного столкновениянегладкое непрерывное отображениеквазипериодическая седло-узловая бифуркациязамкнутая инвариантная криваядвухчастотные колебанияmultistabilityborder collision bifurcationsnon-smooth continuous mappingquasi-periodic saddle-node bifurcationclosed invariant curvetwo-frequency oscillationsРабота выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, программа стратегического академического лидерства „Приоритет-2030“, гранты № 1.71.23 П, 1.7.21/S-2, и Ошского государственного университета, грант № 14-22.The work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, the program of strategic academic leadership “Priority-2030”, grants No. 1.71.23 P, 1.7.21/S-2, and Osh State University, grant No. 14-22.ReferencesFeudel U., Grebogi C., Hunt B. R., Yorke J. A. Map with More than 100 Coexisting Low-Period Periodic Attractors // Phys. Rev. E 54. 1996. P. 7181.Feudel U., Grebogi C., Hunt B.R., Yorke J.A. Phys. Rev. E, 1996, vol. 54, рр. 71–81.Feudel U. Complex Dynamics in Multistable Systems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2008. Vol. 18. P. 1607-1626.Feudel U. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2008, vol. 18, рр. 1607–1626.Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Multistability and Tipping: From Mathematics and Physics to Climate and Brain - Minireview and preface to the focus issue // Chaos. 2018. Vol. 28. P. 033501.Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Chaos, 2018, vol. 28, рр. 033501.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yahochkina O. O. Torus Bifurcations in Multilevel Converter Systems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2011. Vol. 21. P. 2343-2356.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yahochkina O.O. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2011, vol. 21, рр. 2343–2356.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Pavlova E.V. Multistability and Torus Reconstruction in a DC-DC Converter with Multilevel Control // IEEE Trans. on Industrial Informatics. 2013. Vol. 9. P. 1936-1946.Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E., Pavlova E.V. IEEE Trans. on Industrial Informatics, 2013, vol. 9, рр. 1936–1946.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Multistability and Hidden Attractors in a Multilevel DC/DC Converter // Math. Comput. Simul. 2015. Vol. 109. P. 32-45.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Math. Comput. Simul., 2015, vol. 109, рр. 32–45.Avrutim V., Zhusubaliyev Zh. T. Nested Closed Invariant Curvesin Piecewise Smooth Maps // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29, N. 7. P. 193001721.Avrutim V., Zhusubaliyev Zh.T. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2019, no. 7(29), pp. 193001721.Zhusubaliyev Zh. T., Avrutin V., Gardini L., Sushko I. Border Collision Bifurcation of a Resonant Closed Invariant Curve // Chaos. 2022. Vol. 32. P. 043101.Zhusubaliyev Zh.T., Avrutin V., Gardini L., Sushko I. Chaos, 2022, vol. 32, рр. 043101.Feigin M. I. Doubling of the Oscillation Period with C-Bifurcations in Piecewise Continuous Systems // PMM J. Appl. Math. Mech. 1970. Vol. 34. P. 861-869.Feigin M.I. PMM J. Appl. Math. Mech., 1970, vol. 34, рр. 861–869.Nusse H. E., Yorke J. A. Border-Collision Bifurcations Including „Period Two to Period Three“ Bifurcation for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. Vol. 57. P. 39-57.Nusse H.E., Yorke J.A. Physica D, 1992, vol. 57, рр. 39–57.Nonlinear Phenomena in Power Electronics / Ed.: S. Banerjee, G. C. Verghese. N. Y.: IEEE Press, 2001. 645 p.Banerjee S., Verghese G.C., eds., Nonlinear Phenomena in Power Electronics, IEEE Press, NY, 2001, 645 p.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, 2003. 363 p.Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems, World Scientific, 2003, 363 p.Di Bernardo M., Budd C. J., Champneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. Springer, 2008. 483 p.Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications, Springer, 2008, 483 p.Жусубалиев Ж. Т., Рубанов В. Г., Гольцов Ю. А., Яночкина О. О., Поляков С. А. Квазипериодичность в системе управления температурным полем нагревательной установки // Научные ведомости БелГУ. Серия Экономика. Информатика. 2017. № 23(272), вып. 44. С. 113-122.Zhusubaliyev Zh.T., Rubanov V.G., Gol’tsov Yu.A., Yanochkina O.O., Polyakov S.A. Belgorod State University Scientific Bulletin Economics. Information Technologies, 2017, no. 23(272), pp. 113–122. (in Russ.)Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Hidden Attractors in Dynamical Systems. From Hidden Oscillations in HilbertKolmogorov, Aizerman, and Kalman Problems to Hidden Chaotic Attractor in Chua Circuit // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2013. Vol. 23, N 1. P. 1330002.Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2013, no. 1(23), pp. 1330002.Dudkowski D., Jafari S., Kapitaniak T., Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Prasad A. Hidden Attractors in Dynamical Systems // Physics Reports. 2016. Vol. 637. P. 1-50.Dudkowski D., Jafari S., Kapitaniak T., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Prasad A. Physics Reports, 2016, vol. 637, рр. 1–50.Кузнецов Н. В. Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2020. Т. 59, № 5. C. 5-27.Kuznetsov N.V. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2020, no. 5(59), pp. 647–668.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Churilov A. N., Medvedev A. Multistability and Hidden Attractors in an Impulsive Goodwin Oscillator with Time Delay // The European Physical Journal. Special Topics. 2015. Vol. 224, N 8. P. 1519-1539.Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E., Churilov A.N., Medvedev A. The European Physical Journal. Special Topics, 2015, no. 8(224), pp. 1519–1539.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Rubanov V. G., Nabokov R. A. Multistability and Hidden Attractors in a Relay System with Hysteresis // Physica D. 2015. Vol. 306. P. 6-15.Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E., Rubanov V.G., Nabokov R.A. Physica D, 2015, vol. 306, рр. 6–15.Parker T. S., Chua L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. N. Y.: Springer Verlag, 1989. 348 p.Parker T.S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, NY, Springer-Verlag, 1989, 348 p.Nusse H. E., Yorke J. A. A Procedure for Finding Numerical Trajectories in Chaotic Saddles // Physica D. 1989. Vol. 36, N 1—2. P. 137-156.Nusse H.E., Yorke J.A. Physica D, 1989, no. 1-2(36), pp. 137–156.You Z., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating Stable and Unstable Manifolds // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 01, N 03. P. 605-623.You Z., Kostelich E.J., Yorke J.A. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 1991, no. 03 (01), pp. 605–623.England J. P., Krauskopf B., Osinga H. M. Computing One-Dimensional Stable Manifolds and Stable Sets of Planar Maps Without the Inverse // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2004. Vol. 3, N 2. P. 161-190.England J.P., Krauskopf B., Osinga H.M. SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2004, no. 2(3), pp. 161–190.Krauskopf B., Osinga H. M., Doedel E. J., Henderson M. E., Guckenheimer J., Vladimirsky A., Dellnitz M., Junge O. A survey of Methods for Computing (Un)stable manifolds of Vector Fields // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, N. 03. P. 763-791.Krauskopf B., Osinga H.M., Doedel E.J., Henderson M.E., Guckenheimer J., Vladimirsky A., Dellnitz M., Junge O. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2005, no. 03(15), pp. 763–791.Fundinger D. Toward the Calculation of Higher-Dimensional Stable Manifolds and Stable Sets for Noninvertible and Piecewise-Smooth Maps // Journal Nonlinear Sci. 2008. Vol. 18. P. 391-413.Fundinger D. J. Nonlinear Sci., 2008, vol. 18, рр. 391–413.Li. H., Fan Y., Zhang J. A New Algorithm for Computing One-Dimensional Stable and Unstable Manifolds of Maps // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2012. Vol. 22, N 01. P. 1250018.Li H., Fan Y., Zhang J. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2012, no. 01(22), pp. 1250018.Guckenheimer J., Krauskopf B., Osinga H. M., Sandstede B. Invariant Manifolds and Global Bifurcations // Chaos. 2015. Vol. 25, N 9. P. 097604.Guckenheimer J., Krauskopf B., Osinga H.M., Sandstede B. Chaos, 2015, no. 9(25), pp. 097604.Yue X-L., Xu Y., Xu W., Sun J-Q. Global Invariant Manifolds of Dynamical Systems with the Compatible Cell Mapping Method // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29, N 8. P. 1950105.Yue X.-L., Xu Y., Xu W., Sun J.-Q. Intern. J. Bifurcation and Chaos, 2019, no. 8(29), pp. 1950105.Жусубалиев Ж. Т., Рубанов В. Г., Гольцов Ю. А. К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений // Изв. Юго-Западного гос. ун-та. 2020. № 24(3). С. 166-182.Zhusubaliyev Zh.T., Kuzmina D.S., Yanochkina O.О. Proceedings of the Soutwest State University, 2020, no. 3(24), pp. 166–182. (in Russ.)Kuznetsov Yu. A., Meijer H. G. E. Numerical Bifurcation Analysis of Maps: From Theory to Software. Cambridge Univ. Press, 2019. 753р.Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Numerical Bifurcation Analysis of Maps: from Theory to Software, Cambridge University Press, 2019, 753 р.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.