Ссылка для цитирования : Земсков А. В. Аналитический подход к выборочному поиску функций вероятностей состояний в марковских цепях // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 12. С. 1035—1049. DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-12-1035-1049.

Аннотация. Предлагается аналитический подход к исследованию счетных однородных марковских цепей. Приводится алгоритм выборочного поиска операторов „вход—выход“ в z-форме. Описываются простые аналитические процедуры получения функций вероятностей при вещественных и комплексно-сопряженных собственных значениях матрицы переходных вероятностей. Даются оценки для границ наступления установившегося режима в тактовом времени. Приводятся дополнительные результаты для установившегося режима с помощью алгоритма развертывания характеристических определителей. Основные выкладки иллюстрируются оценкой характеристик марковских цепей с учетом влияния переходной динамики при изменении вероятностей состояний на интервале функционирования в тактовом времени. Также рассматриваются аспекты надежности вычислений при оценке значений вероятностей с помощью предлагаемого подхода.

Ключевые слова: марковская цепь, оператор „вход—выход“ в z-форме, собственные значения, собственные векторы, функция вероятности состояния

Список литературы:

1. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 485 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: КноРус, 2010. 190 с.
3. Нуммелин Э. Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. М.: Мир, 1989. 208 с.
4. Фурман Я. А., Юрьев А. Н., Яншин В. В. Цифровые методы обработки и распознавания бинарных изображений. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. 245 с.
5. Harrison P. G. Transient Behaviour of Queueing Networks // J. Appl. Prob. 1981. Vol. 18, N 2. P. 482—490.
6. Dudin A. N., Karolik A. V. BMAP/SM/1 Queue with Markovian Input of Disasters and Non-instantaneous Recovery // Performance Evaluat. 2001. Vol. 45, N 1. P. 19—32.
7. Dharmaraja S., Rakesh Kumar. Transient solution of a Markovian queuing model with heterogeneous servers and catastrophes // OPSEARCH. 2015. Vol. 52, N 4. P. 810—826.
8. Kumar B. K., Madheshwari S. P., Venkatakrishanan K. S. Transient solution of an M/M/2 queue with heterogeneous servers subject to catastrophes // Intern. J. Inform. Management Sci. 2017. Vol. 18, N 1. P. 63—80.
9. Миллер А. Б., Миллер Б. М., Степанян К. В. Одновременное импульсное и непрерывное управление марковской цепью в непрерывном времени // Автоматика и телемеханика. 2020. № 3. С. 114—131. DOI: 10.31857/S0005231020030071.
10. Вытовтов К. А., Барабанова Е. А. Аналитический метод анализа неоднородных непрерывных марковских процессов с кусочно-постоянными интенсивностями перехода // Автоматика и телемеханика. 2021. № 12. С. 91—104. DOI: 10.31857/S0005231021120060.
11. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Пер. с англ. В. Г. Дунаева; под ред. П. И. Попова. М.: Машиностроение, 1986. 448 с.
12. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования / Пер. с англ. М. А. Берманта, Ж. Л. Грина. М.: Физматгиз, 1963. 455 с.
13. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 654 с.
14. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. „Автоматика и телемеханика“. В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова и др.; Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1986. 367 с.
15. Земсков А. В. Метод получения матрицы передаточных функций на ЭВМ // Изв. вузов. Приборостроение. 1989. Т. 32, № 11. С. 20—22.
16. Земсков В. А., Земсков А. В. Метод определения фундаментальных матриц в непрерывных и дискретных системах автоматического управления и его практические приложения // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: Тр. междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2000. С. 17—20.
17. Golub G. H. & Uhlig F. The QR algorithm: 50 years later – its genesis by John Francis and Vera Kublanovskaya, and subsequent developments // IMA Journal of Numerical Analysis. 2009. Vol. 29, N 3. Р. 467—485. ISSN 0272-4979.
18. Земсков А. В. Метод выборочного поиска для собственных векторов матриц и его практические приложения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 365—375.
19. Bellman R. E. Adaptive Control Processes. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1961. 276 p.
20. Langville A. N., Meyer C. D. Google's PageRank and beyond: the science of search engine rankings. Princeton University Press, 2006. 224 р.