Abstract. Two new fast algorithms for solving ill-posed one- and two-dimensional Fredholm integral equa-tions of the first kind by Tikhonov regularization are presented. In both algorithms, the speed increase of solving integral equations of convolution type is achieved by using fast Fourier transform and preliminary calculation of several spectral functions. The difference between this work and the previous ones is that the image smearing is considered at an angle with respect to the horizon, which requires special approaches. The proposed algorithms can be used to quickly restore images from blurred images of moving objects. A numerical example of a fast (about 1 s) restoration of an angle-smeared image of an aircraft is given.

Keywords: ill-posed integral equations, Tikhonov regularization method, fast algorithms, smeared image restoration, MatLab

References:

1. Bates R. H. T., McDonnell M. J. Image Restoration and Reconstruction. Oxford: Oxford Univ. Press, 1986.
2. Gonzalez R. C., Woods R. E. Digital Image Processing. New Jersey: Prentice Hall, 2002.
3. Jähne B. Digital Image Processing. Berlin—Heidelberg: Springer-Verlag, 2005.
4. Hansen P. C. Discrete Inverse Problems: Insight and Algorithms. Philadelphia: SIAM, 2010.
5. Sizikov V. S. Spectral method for estimating the point-spread function in the task of eliminating image distortions // J. Optical Technology. 2017. Vol. 84. P. 95—101. DOI: 10.1364/JOT.84.000095.
6. Sizikov V. S., Stepanov A. V., Mezhenin A. V. et al. Determining image-distortion parameters by spectral means when processing pictures of the earth’s surface obtained from satellites and aircraft // J. Optical Technology. 2018. Vol. 85. P. 203—210. DOI: 10.1364/JOT.85.000203
7. Сизиков В. С., Кирьянов К. А., Экземпляров Р. А. Два быстрых алгоритма восстановления смазанных изображений // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 10. С. 24—30.
8. Ильин А. К., Сизиков В. С. Восстановление смазанных изображений в реальном времени // Альманах научных работ молодых ученых Университета ИТМО. 2017. Т. 2. С. 100—104.
9. Сизиков В. С. Прямые и обратные задачи восстановления изображений, спектроскопии и томографии с MatLab: Учеб. пособие. СПб: Лань, 2017. 412 с.
10. Арефьева М. В., Сысоев А. Ф. Быстрые регуляризирующие алгоритмы цифрового восстановления изображений // Вычислительные методы и программирование. 1983. Вып. 39. С. 40—55.
11. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания / Под ред. А. Н. Тихонова, А. В. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 185—195.
12. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.
13. Petrov Yu. P., Sizikov V. S. Well-Posed, Ill-Posed, and Intermediate Problems with Applications. Leiden—Boston: VSP, 2005.
14. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control. Singapore—London: World Scientific Publ., 2014.
15. Gonsales R. C., Woods R. E., Eddins S. L. Digital Image Processing using MatLab. New Jersey: Prentice Hall, 2004.
16. Дьяконов В., Абраменкова И. MatLab. Обработка сигналов и изображений. СПб: Питер, 2002. 608 с.
17. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001. 240 с.